4.3: Fracciones equivalentes, reducción de fracciones a términos más bajos y aumento de fracciones a términos más altos (2024)

Hay una propiedad interesante que satisfacen fracciones equivalentes.

Si los productos cruzados son iguales, las fracciones son equivalentes. Si los productos cruzados no son iguales, las fracciones no son equivalentes.

Así,$\dfrac{2}{3}$ y$\dfrac{4}{6}$ son equivalentes, es decir,$\dfrac{2}{3} = \dfrac{4}{6}$.

Reducción de fracciones a términos más bajos

A menudo es muy útil conver t una fracción a una fracción equivalente que tiene valores reducidos en el numerador y denominador. Podemos sugerir un método para hacerlo considerando las fracciones equivalentes$\dfrac{9}{15}$ y$\dfrac{3}{5}$. Primero, divida tanto el numerador como el denominador de$\dfrac{9}{15}$ por 3. La fracción$\dfrac{9}{15}$ y$\dfrac{3}{5}$ son equivalentes.

(¿Puedes probarlo?) Entonces,$\dfrac{9}{15} = \dfrac{3}{5}$. Deseamos convertir$\dfrac{9}{15}$ a$\dfrac{3}{5}$. Ahora divide el numerador y denominador de$\dfrac{9}{15}$ por 3, y mira qué pasa.

$\dfrac{9 \div 3}{15 \div 3} = \dfrac{3}{5}$

La fracción$\dfrac{9}{15}$ se convierte en$\dfrac{3}{5}$.

Una pregunta natural es “¿Por qué elegimos dividir por 3?” Observe que

$\dfrac{9}{15} = \dfrac{3 \cdot 3}{5 \cdot 3}$

Podemos ver que el factor 3 es común tanto al numerador como al denominador.

Definición: Reducir una Fracción

A partir de estas observaciones podemos sugerir el siguiente método para convertir una fracción en una fracción equivalente que tiene valores reducidos en el numerador y denominador. El método se llama reducir una fracción.

Una fracción se puede reducir dividiendo tanto el numerador como el denominador por el mismo número entero distinto de cero.

$4.3: Fracciones equivalentes, reducción de fracciones a términos más bajos y aumento de fracciones a términos más altos (1)$

Considerar la recolección de fracciones equivalentes

$\dfrac{5}{20}, \dfrac{4}{16}, \dfrac{3}{12}, \dfrac{2}{8}, \dfrac{1}{4}$

Términos reducidos a los más bajos

Observe que cada una de las primeras cuatro fracciones se puede reducir a la última fracción$\dfrac{1}{4}$,, dividiendo tanto el numerador como el denominador por, respectivamente, 5, 4, 3 y 2. Cuando una fracción se convierte a la fracción que tiene el numerador y denominador más pequeños en su colección de fracciones equivalentes, se dice que se reduce a términos más bajos. Las fracciones$\dfrac{1}{4}$,$\dfrac{3}{8}$,$\dfrac{2}{5}$, y$\dfrac{7}{10}$ se reducen a términos más bajos.

Observar una propiedad muy importante de una fracción que se ha reducido a términos más bajos. El único número entero que divide tanto el numerador como el denominador sin un resto es el número 1. Cuando 1 es el único número entero que divide dos números enteros, se dice que los dos números enteros son relativamente primos.

Relativamente Prime
Una fracción se reduce a términos más bajos si su numerador y denominador son relativamente primos.

Métodos de reducción de fracciones a términos más bajos

Método 1: Dividir primos comunes

Escribe el numerador y denominador como producto de primos.
Divida el numerador y el denominador por cada uno de los factores primos comunes. A menudo indicamos esta división dibujando una línea inclinada a través de cada factor dividido. Este proceso también se llama cancelar factores comunes.
El producto de los factores restantes en el numerador y el producto de los factores restantes del denominador son relativamente primos, y esta fracción se reduce a términos más bajos.

Conjunto de Muestras B

$\dfrac{6}{18} = \dfrac{\begin{array} {c} {^1} \\ {\cancel{2}} \end{array} \cdot \begin{array} {c} {^1} \\ {\cancel{3}} \end{array}}{\begin{array} {c} {\cancel{2}} \\ {^1} \end{array} \cdot \begin{array} {c} {\cancel{3}} \\ {^1} \end{array} \cdot 3} = \dfrac{1}{3}$1 y 3 son relativamente primos.

Conjunto de Muestras B

$\dfrac{16}{20} = \dfrac{\begin{array} {c} {^1} \\ {\cancel{2}} \end{array} \cdot \begin{array} {c} {^1} \\ {\cancel{2}} \end{array} \cdot 2 \cdot 2}{\begin{array} {c} {\cancel{2}} \\ {^1} \end{array} \cdot \begin{array} {c} {\cancel{2}} \\ {^1} \end{array} \cdot 5} = \dfrac{4}{5}$4 y 5 son relativamente primos.

Conjunto de Muestras B

$\dfrac{56}{104} = \dfrac{\begin{array} {c} {^1} \\ {\cancel{2}} \end{array} \cdot \begin{array} {c} {^1} \\ {\cancel{3}} \end{array} \begin{array} {c} {^1} \\ {\cancel{2}} \end{array} \cdot 7}{\begin{array} {c} {\cancel{2}} \\ {^1} \end{array} \cdot \begin{array} {c} {\cancel{2}} \\ {^1} \end{array} \cdot \begin{array} {c} {\cancel{2}} \\ {^1} \end{array} \cdot 13} = \dfrac{7}{13}$7 y 13 son relativamente primos (y también verdaderamente primos)

Conjunto de Muestras B

$\dfrac{315}{336} = \dfrac{\begin{array} {c} {^1} \\ {\cancel{3}} \end{array} \cdot 3 \cdot 5 \cdot \begin{array} {c} {^1} \\ {\cancel{7}} \end{array}}{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot \begin{array} {c} {\cancel{3}} \\ {^1} \end{array} \cdot \begin{array} {c} {\cancel{7}} \\ {^1} \end{array}} = \dfrac{15}{16}$15 y 16 son relativamente primos.

Conjunto de Muestras B

$\dfrac{8}{15} = \dfrac{2 \cdot 2 \cdot 2}{3 \cdot 5}$No hay factores primos comunes, por lo que 8 y 15 son relativamente primos.

La fracción$\dfrac{8}{15}$ se reduce a los términos más bajos.

Set de práctica B

Reduzca cada fracción a los términos más bajos.

$\dfrac{4}{8}$

Responder: $\dfrac{1}{2}$

Set de práctica B

$\dfrac{6}{15}$

Responder: $\dfrac{2}{5}$

Set de práctica B

$\dfrac{6}{48}$

Responder: $\dfrac{1}{8}$

Set de práctica B

$\dfrac{21}{48}$

Responder: $\dfrac{7}{16}$

Set de práctica B

$\dfrac{72}{42}$

Responder: $\dfrac{12}{7}$

Set de práctica B

$\dfrac{135}{243}$

Responder: $\dfrac{5}{9}$

Método 2: Dividir factores comunes

Dividir mentalmente el numerador y el denominador por un factor que sea común a cada uno. Escribe el cociente encima del número original.
Continuar con este proceso hasta que el numerador y el denominador sean relativamente primos.

Conjunto de Muestras C

Reduzca cada fracción a los términos más bajos.

$\dfrac{25}{30}$. 5 se divide en 25 y 30.

$\dfrac{\begin{array} {c} {^5} \\ {\cancel{25}} \end{array}}{\begin{array} {c} {\cancel{30}} \\ {^6} \end{array}} = \dfrac{5}{6}$5 y 6 son relativamente primos.

Conjunto de Muestras C

$\dfrac{18}{24}$. Ambos números son parejos para que podamos dividirnos por 2.

$\dfrac{\begin{array} {c} {^9} \\ {\cancel{18}} \end{array}}{\begin{array} {c} {\cancel{24}} \\ {^{12}} \end{array}}$Ahora, tanto el 9 como el 12 son divisibles por 3.

$\dfrac{\begin{array} {c} {^{^3}} \\ {^{\cancel{9}}} \\ {\cancel{18}} \end{array}}{\begin{array} {c} {\cancel{24}} \\ {^{\cancel{12}}} \\ {^{^4}} \end{array}} = \dfrac{3}{4}$3 y 4 son relativamente primos.

Conjunto de Muestras C

$\dfrac{\begin{array} {c} {^{^7}} \\ {^{\cancel{21}}} \\ {\cancel{210}} \end{array}}{\begin{array} {c} {\cancel{150}} \\ {^{\cancel{15}}} \\ {^{^5}} \end{array}} = \dfrac{7}{5}$7 y 5 son relativamente primos.

Conjunto de Muestras C

$\dfrac{36}{96} = \dfrac{18}{48} = \dfrac{9}{24} = \dfrac{3}{8}$. 3 y 8 son relativamente primos.

Set de práctica C

Reduzca cada fracción a los términos más bajos.

$\dfrac{12}{16}$

Responder: $\dfrac{3}{4}$

Set de práctica C

$\dfrac{9}{24}$

Responder: $\dfrac{3}{8}$

Set de práctica C

$\dfrac{21}{84}$

Responder: $\dfrac{1}{4}$

Set de práctica C

$\dfrac{48}{64}$

Responder: $\dfrac{3}{4}$

Set de práctica C

$\dfrac{63}{81}$

Responder: $\dfrac{7}{9}$

Set de práctica C

$\dfrac{150}{240}$

Responder: $\dfrac{5}{8}$

Elevar fracciones a términos más altos

Igual de importante como reducir fracciones es elevar fracciones a términos más altos. Elevar una fracción a términos más altos es el proceso de construir una fracción equivalente que tiene valores más altos en el numerador y denominador que la fracción original.

Las fracciones$\dfrac{3}{5}$ y$\dfrac{9}{15}$ son equivalentes, es decir,$\dfrac{3}{5} = \dfrac{9}{15}$. Observe también,

$\dfrac{3 \cdot 3}{5 \cdot 3} = \dfrac{9}{15}$

Observe eso$\dfrac{3}{3} = 1$ y eso$\dfrac{3}{5} \cdot 1 = \dfrac{3}{5}$. No estamos cambiando el valor de$\dfrac{3}{5}$.

A partir de estas observaciones podemos sugerir el siguiente método para convertir una fracción en una fracción equivalente que tenga valores más altos en el numerador y denominador. Este método se llama elevar una fracción a términos más altos.

Ejercicios

Para los siguientes problemas, determine si los pares de fracciones son equivalentes.

Ejercicio$\PageIndex{1}$

$\dfrac{1}{2}, \dfrac{5}{10}$

Responder: equivalente

Ejercicio$\PageIndex{2}$

$\dfrac{2}{3}, \dfrac{8}{12}$

Ejercicio$\PageIndex{3}$

$\dfrac{5}{12}, \dfrac{10}{24}$

Responder: equivalente

Ejercicio$\PageIndex{4}$

$\dfrac{1}{2}, \dfrac{3}{6}$

Ejercicio$\PageIndex{5}$

$\dfrac{3}{5}, \dfrac{12}{15}$

Responder: no equivalente

Ejercicio$\PageIndex{6}$

$\dfrac{1}{6}, \dfrac{7}{42}$

Ejercicio$\PageIndex{7}$

$\dfrac{16}{25}, \dfrac{49}{75}$

Responder: no equivalente

Ejercicio$\PageIndex{8}$

$\dfrac{5}{28}, \dfrac{20}{112}$

Ejercicio$\PageIndex{9}$

$\dfrac{3}{10}, \dfrac{36}{110}$

Responder: no equivalente

Ejercicio$\PageIndex{10}$

$\dfrac{6}{10}, \dfrac{18}{32}$

Ejercicio$\PageIndex{11}$

$\dfrac{5}{8}, \dfrac{15}{24}$

Responder: equivalente

Ejercicio$\PageIndex{12}$

$\dfrac{10}{16}, \dfrac{15}{24}$

Ejercicio$\PageIndex{13}$

$\dfrac{4}{5}, \dfrac{3}{4}$

Responder: no equivalente

Ejercicio$\PageIndex{14}$

$\dfrac{5}{7}, \dfrac{15}{21}$

Ejercicio$\PageIndex{15}$

$\dfrac{9}{11}, \dfrac{11}{9}$

Responder: no equivalente

Para los siguientes problemas, determine el numerador o denominador faltante.

Ejercicio$\PageIndex{16}$

$\dfrac{1}{3} = \dfrac{?}{12}$

Ejercicio$\PageIndex{17}$

$\dfrac{1}{5} = \dfrac{?}{30}$

Responder: 6

Ejercicio$\PageIndex{18}$

$\dfrac{2}{3} = \dfrac{?}{9}$

Ejercicio$\PageIndex{19}$

$\dfrac{3}{4} = \dfrac{?}{16}$

Responder: 12

Ejercicio$\PageIndex{20}$

$\dfrac{5}{6} = \dfrac{?}{18}$

Ejercicio$\PageIndex{21}$

$\dfrac{4}{5} = \dfrac{?}{25}$

Responder: 20

Ejercicio$\PageIndex{22}$

$\dfrac{1}{2} = \dfrac{4}{?}$

Ejercicios para la revisión

Ejercicio$\PageIndex{96}$

Vuelta 816 al mil más cercano.

Ejercicio$\PageIndex{97}$

Realizar la división:$0 \div 6$.

Contestar

Ejercicio$\PageIndex{98}$

Encuentra todos los factores de 24.

Ejercicio$\PageIndex{99}$

Encuentra el mayor factor común de 12 y 18.

Contestar: 6

Ejercicio$\PageIndex{100}$

Convertir$\dfrac{15}{8}$ a un número mixto.