1.5: Fracciones Equivalentes (2024)

Por ejemplo,\(\dfrac{2}{3}\) y\(\dfrac{4}{6}\) representan la misma parte de una cantidad entera y por lo tanto son equivalentes. A continuación se enumeran varias colecciones más de fracciones equivalentes:

Reducción de fracciones a términos más bajos

Términos reducidos a los más bajos

A menudo es útil convertir una fracción en una fracción equivalente que tiene valores reducidos en el numerador y denominador. Cuando una fracción se convierte en una fracción equivalente que tiene el numerador y denominador más pequeños en la colección de fracciones equivalentes, se dice que se reduce a términos más bajos. El proceso de conversión se llama reducir una fracción.

Podemos reducir una fracción a los términos más bajos al

Expresando el numerador y denominador como producto de números primos. (Encuentra la factorización prima del numerador y denominador. Ver Sección 1.3 para esta técnica.)
Dividir el numerador y el denominador por todos los factores comunes. (Esta técnica se llama comúnmente “cancelación”).

Conjunto de Muestras A:

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

\ (\ begin {alineado}
&\ dfrac {6} {18} =\ dfrac {2\ cdot 3} {2\ cdot 3\ cdot 3}\\
&=\ dfrac {\ not {2}\ cdot\ not {3}} {\ not {2}\ cdot\ not {3}\ cdot 3}\ quad 2\ texto {y} 3\ texto {son factores comunes.}\\
&=\ dfrac {1} {3}
\ end {alineado}
\)

Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

\ (
\ begin {alineado}
\ dfrac {16} {20} &=\ dfrac {2\ cdot 2\ cdot 2\ cdot 2} {2\ cdot 2\ cdot 5}\\\
&=\ dfrac {\ not {2}\ cdot\ not {2}\ cdot 2\ cdot 2} {\ not {2}\ cdot\ not {2}\ cdot 5}\ quad 2\ text {es el único factor común.}\\
&=\ dfrac {4} {5}
\ end {alineado}
\)

Ejemplo\(\PageIndex{3}\)

\ (
\ begin {alineado}
&\ dfrac {56} {70} =\ dfrac {2\ cdot 4\ cdot 7} {2\ cdot 5\ cdot 7}\\
&=\ dfrac {\ not {2}\ cdot 4\ cdot\ not {7}} {\ not {2}\ cdot 5\ cdot\ not {7}}\ 2\ text {y} 7\ text {son factores comunes.}\\
&=\ dfrac {4} {5}
\ fin {alineado}
\)

Ejemplo\(\PageIndex{4}\)

\ (
\ dfrac {8} {15} =\ dfrac {2\ cdot 2\ cdot 2} {3\ cdot 5}
\) No hay factores comunes.

Así,\(\dfrac{8}{15}\) se reduce a los términos más bajos.

Elevar una fracción a términos más altos

Igualmente importante ya que reducir las fracciones es elevar las fracciones a términos más altos. Elevar una fracción a términos superiores es el proceso de construir una fracción equivalente que tiene valores más altos en el numerador y denominador. La fracción equivalente superior se construye multiplicando la fracción original por 1.

Observe que\(\dfrac{3}{5}\) y\(\dfrac{9}{15}\) son equivalentes, es decir\(\dfrac{3}{5}\) =\(\dfrac{9}{15}\). Además,

\ (
\ begin {array} {l}
\ dfrac {3} {5}\ cdot 1=\ dfrac {3} {5}\ cdot\ dfrac {3} {3} =\ dfrac {3\ cdot 3} {5\ cdot 3} =\ dfrac {9} {15}\
1=\ dfrac {3} {3}
\ final {matriz}
\)

Esta observación nos ayuda a sugerir el siguiente método para elevar una fracción a términos más altos.

Elevar una fracción a términos más altos

Una fracción puede elevarse a términos más altos multiplicando tanto el numerador como el denominador por el mismo número distinto de cero.

Por ejemplo, se\(\dfrac{3}{4}\) puede elevar a\(\dfrac{24}{32}\) multiplicando tanto el numerador como el denominador por 8, es decir, multiplicando por 1 en la forma\(\dfrac{8}{8}\).

\ (
\ dfrac {3} {4} =\ dfrac {3\ cdot 8} {4\ cdot 8} =\ dfrac {24} {32}
\)

¿Cómo sabíamos elegir 8 como factor adecuado? Ya que deseamos convertir 4 a 32 multiplicándolo por algún número, sabemos que 4 debe ser un factor de 32. Esto significa que 4 se divide en 32. De hecho,\(32 \div 4=8\). Dividimos el denominador original en el nuevo denominador especificado para obtener el factor adecuado para la multiplicación.

Conjunto de Muestras B

Determinar el numerador o denominador faltante.

Ejemplo\(\PageIndex{5}\)

\(\dfrac{3}{7}=\dfrac{?}{35} . \quad \text{Divide the original denominator, } 7, \text{ into the new denominator }35\)

Ejemplo\(\PageIndex{6}\)

\(\dfrac{5}{6}=\dfrac{45}{?} . \quad \text{Divide the original denominator, } 5, \text{ into the new denominator }45\)

\(45 \div 5=9\)

\(\text{Multiply the original numerator by } 9.\)

\(\dfrac{5}{6}=\dfrac{5 \cdot 9}{6 \cdot 9}=\dfrac{45}{54}\)

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

\(\dfrac{6}{8}\)

Contestar: \(\dfrac{3}{4}\)

Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

\(\dfrac{5}{10}\)

Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

\(\dfrac{6}{14}\)

Contestar: \(\dfrac{3}{7}\)

Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

\(\dfrac{4}{14}\)

Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

\(\dfrac{18}{12}\)

Contestar: \(\dfrac{3}{2}\)

Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

\(\dfrac{3}{2}\)

Ejercicio\(\PageIndex{7}\)

\(\dfrac{20}{8}\)

Ejercicio\(\PageIndex{8}\)

\(\dfrac{10}{6}\)

Contestar: \(\dfrac{5}{3}\)

Ejercicio\(\PageIndex{9}\)

\(\dfrac{14}{4}\)

Ejercicio\(\PageIndex{10}\)

\(\dfrac{10}{12}\)

Contestar

\(\dfrac{5}{6}\)